BAB 6 : BARISAN DAN DERET

6.2 Deret Tak Hingga

A) Rangkuman Materi

1 Jumlah Deret Tak Hingga

Definisi 6.1

Deret tak hingga adalah suatu ekspresi yang dapat ditulis dalam bentuk

\[ \sum_{k=1}^\infty u_k = u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots \]

Bilangan-bilangan \(u_1, u_2, u_3, \dots\) disebut suku-suku dari deret tersebut.

Jumlah parsial ke-n adalah bilangan \(s_n\), dimana

\[ s_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \sum_{k=1}^n u_k. \]

Barisan dari jumlah parsial adalah barisan \(\{s_n\}_{n=1}^\infty\).

Definisi 6.2

Misalkan \(\{s_n\}\) adalah barisan dari jumlah parsial deret \(u_1 + u_2 + \dots + u_k + \dots\). Jika barisan \(\{s_n\}\) tersebut konvergen ke suatu limit \(S\), maka deret tersebut dikatakan konvergen dan \(S\) disebut jumlah dari deret itu, dan ditulis

\[ S = \sum_{k=1}^n u_k \]

Jika barisan dari jumlah parsial tersebut divergen, maka deret itu dikatakan divergen. Suatu deret divergen tidak mempunyai jumlah.

1.2 Deret Geometrik

Teorema 6.3

Suatu deret geometrik

\[ a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1} + \dots \quad (a \ne 0) \]

konvergen jika \(|r| < 1 \iff -1 < r < 1\) dan divergen jika \(|r| \ge 1 \iff r \le 1 \cup 1 \le r\). Jika deret konvergen, maka jumlah deret adalah

\[ a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1} + \dots = \frac{a}{1-r} \]

Ingat bahwa suku ke-\(n\) deret geometri adalah

\[ a_n = ar^{n-1}, \]

terdapat teorema mengenai limit \(a_n\).

Teorema 6.4

Jika deret \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) konvergen, maka \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\). Ekuivalen dengan, jika \(\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0\) atau jika \(\lim_{n\to\infty} a_n\) tidak ada, maka deret \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) divergen.

1.3 Deret Harmonik

Deret harmonik merupakan suatu **deret divergen** yang diberikan sebagai

\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \dots \]

B) Contoh Soal

1. Buktikan deret geometrik \(\sum_{k=0}^\infty (x-3)^k = \frac{1}{4-x}\) konvergen, jika \(2 < x < 4\).

Pembahasan:

Perhatikan bahwa

\[ \sum_{k=0}^\infty (x-3)^k = (x-3)^0 + (x-3)^1 + (x-3)^2 + (x-3)^3 + \dots \]

merupakan deret geometrik dengan rasio \(r = x-3\). Karena \(2 < x < 4\), akibatnya \(-1 < x-3 < 1\) atau \(|r| < 1\). Berdasarkan teorema, deret geometri konvergen jika \(|r| < 1\), dengan demikian deret \(\sum_{k=0}^\infty (x-3)^k = \frac{1}{4-x}\) konvergen.

2. Apakah \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)(k+3)}\) deret konvergen? Jika iya dapatkan nilainya.

Pembahasan:

Perhatikan bahwa \(\frac{1}{k(k+2)(k+3)}\) dapat dituliskan sebagai

\[ \frac{1}{k(k+2)(k+3)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2} + \frac{C}{k+3} \] (Ini adalah dekomposisi pecahan parsial, meskipun di gambar hanya ditunjukkan bagian kanan untuk \(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3}\), yang mana seharusnya \(\frac{1}{k(k+1)}\) atau ada faktor lain.)

\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)(k+3)} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right) \]

Selanjutnya, kita akan mencari konvergen atau divergennya melalui limit menuju tak hingga.

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right) &= \lim_{a\to\infty} \sum_{k=1}^a \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+3} \right) \\ &= \lim_{a\to\infty} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a} - \frac{1}{a+1}\right) + \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2}\right) + \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3}\right) \right] \\ % This line is very long and might not render well in all environments, consider breaking it up or simplifying for web display. &= \lim_{a\to\infty} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+3} \right] \\ % This simplification is not directly obvious from the long sum above, assuming the original document made a simplification based on telescoping series property. &= 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} \]

Jadi, deret \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)(k+3)}\) konvergen dengan nilai konvergensinya adalah \(\frac{3}{2}\).

C) Latihan Soal

1. Soal EAS 2019

Periksa apakah deret \(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{2^{n-1}}\) adalah deret yang konvergen.

Pembahasan

Perhatikan bahwa deret \[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{2^3} + \dots \]

merupakan deret geometri dengan rasio \(r = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(-1)^n \frac{1}{2^n}}{(-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-1}}} = (-\frac{1}{2})\), sehingga \(|r| < 1\). Dengan demikian deret tersebut konvergen.

2. Soal EAS 2019

Apakah deret \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots\) konvergen? Jika konvergen dapatkan nilai jumlahan dari deret tersebut.

Pembahasan

Perhatikan bahwa deret tersebut dapat dituliskan sebagai \[ \begin{aligned} \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+2)} \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right] \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right] \end{aligned} \]

Selanjutnya, kita akan mencari konvergen atau divergennya melalui limit menuju tak hingga.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right] \\ &= \frac{1}{2} \lim_{a\to\infty} \sum_{k=1}^a \left[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2} \right] \\ &= \frac{1}{2} \lim_{a\to\infty} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1}\right) + \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+2}\right) \right] \\ &= \frac{1}{2} \lim_{a\to\infty} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2} \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{3}{2} \right] \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned} \]

Jadi, deret \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots\) konvergen dengan nilai konvergensinya adalah \(\frac{3}{4}\).

3. Soal EAS 2019

Tunjukkan apakah deret berikut konvergen atau divergen, jika konvergen dapatkan nilainya

(a) \(\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k-2}\)
(b) \(\sum_{k=5}^\infty \left(\frac{e}{\pi}\right)^k\)

Pembahasan

(a) Perhatikan bahwa deret tersebut merupakan deret harmonik \[ \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k-2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k-2} + \dots \] Dengan demikian, deret tersebut divergen.

(b) Perhatikan bahwa \[ \sum_{k=5}^\infty \left(\frac{e}{\pi}\right)^k = \left(\frac{e}{\pi}\right)^5 + \left(\frac{e}{\pi}\right)^6 + \left(\frac{e}{\pi}\right)^7 + \dots + \left(\frac{e}{\pi}\right)^k + \dots \quad \text{(1)} \] merupakan deret geometri dengan rasio \(r = \frac{e}{\pi}\). Karena \(0 < e < \pi\), akibatnya \(0 < \frac{e}{\pi} < 1\), yang berarti deret tersebut konvergen. Mari kita mencari tahu nilai konvergensinya dengan

rumus geometrik \[ \begin{aligned} \sum_{k=5}^\infty \left(\frac{e}{\pi}\right)^k &= \frac{\left(\frac{e}{\pi}\right)^5}{1 - \frac{e}{\pi}} \\ &= \frac{\frac{e^5}{\pi^5}}{\frac{\pi - e}{\pi}} \\ &= \frac{e^5}{\pi^5} \cdot \frac{\pi}{\pi - e} \\ &= \frac{e^5}{\pi^4(\pi - e)} \end{aligned} \]

Jadi, deret \(\sum_{k=5}^\infty \left(\frac{e}{\pi}\right)^k\) konvergen dengan nilai konvergensinya adalah \(\frac{e^5}{\pi^4(\pi - e)}\).